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小学奥数基础教程(五年级) 第11讲 分解质因数

时间:2017-06-19来源: 作者:陈香 点击:
 自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式,如果不考虑因数的顺序,那么这个表示形式是唯一的。把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。
  例如,60=22×3×5, 1998=2×33×37。
  例1 一个正方体的体积是13824厘米3,它的表面积是多少?
  分析与解:正方体的体积是“棱长×棱长×棱长”,现在已知正方体的体积是13824厘米3,若能把13824写成三个相同的数相乘,则可求出棱长。为此,我们先将13824分解质因数:
http://www.xiao5.cn/TK/ktlx/5/_OLE2829.JPGhttp://www.xiao5.cn/TK/ktlx/5/_OLE2829.JPG
  把这些因数分成三组,使每组因数之积相等,得13824=(23×3)×(23×3)×(23×3),
  于是,得到棱长是23×3=24(厘米)。所求表面积是24×24×6=3456(厘米2)。
  例2 学区举行团体操表演,有1430名学生参加,分成人数相等的若干队,要求每队人数在100至200之间,共有几种分法?
  分析与解:按题意,每队人数×队数=1430,每队人数在100至200之间,所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数。为此,先把1430分解质因数,得1430=2×5×11×13。
  从这四个质数中选若干个,使其乘积在100到200之间,这是每队人数,其余的质因数之积便是队数。
  2×5×11=110,13;
  2×5×13=130,11;
  11×13=143,2×5=10。
  所以共有三种分法,即分成13队,每队110人;分成11队,每队130人;分成10队,每队143人。
  例3 1×2×3×…×40能否被90909整除?
  分析与解:首先将90909分解质因数,得 90909=33×7×13×37。  
  因为33(=27),7,13,37都在1~40中,所以1×2×3×…×40能被90909整除。
  例4 求72有多少个不同的约数。
  分析与解:将72分解质因数得到72=23×32。根据72的约数含有2和3的个数,可将72的约数列表如下:
http://www.xiao5.cn/TK/ktlx/5/_OLE2830.JPG
  上表中,第三、四行的数字分别是第二行对应数字乘以3和32,第三、四、五列的数字分别是第二列对应数字乘以2,22和23。对比72=23×32,72的任何一个约数至多有两个不同质因数:2和3。因为72有3个质因数2,所以在某一个约数的质因数中,2可能不出现或出现1次、出现2次、出现3次,这就有4种情况;同理,因为72有两个质因数3,所以3可能不出现或出现1次、出现2次,共有3种情况。
  根据乘法原理,72的不同约数共有4×3=12(个)。
  从例4可以归纳出求自然数N的所有不同约数的个数的方法:一个大于1的自然数N的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积。
  例如,2352=24×3×72,因为2352的质因数分解式中有4个2,1个3,2个7,所以2352的不同约数有
  (4+1)×(1+1)×(2+1)=30(个);
  又如,9450=2×33×52×7,所以9450的不同的约数有
(1+1)×(3+1)×(2+1)×(1+1)=48(个)。
  例5 试求不大于50的所有约数个数为6的自然数。
  分析与解:这是求一个数的约数个数的逆问题,因此解题方法正好与例4相反。
  因为这个数有六个约数,6=5+1=(2+1)×(1+1),所以,当这个数只有一个质因数a时,这个数是a5;当这个数有两个质因数a和b时,这个数是a2×b。因为这个数不大于50,所以对于a5,只有a=2,即25=32;对于a2×b,经试算得到,22×3=12,22×5=20,22×7=28,22×11=44,32×2=18,32×5=45,52×2=50。
  所以满足题意的数有八个:32,12,20,28,44,18,45,50。
练习11
  1.一个长方体,它的正面和上面的面积之和是209分米2,如果它的长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少立方分米?
  2.爷孙两人今年的年龄的乘积是693,4年前他们的年龄都是质数。爷孙两人今年的年龄各是多少岁?
  3.某车间有216个零件,如果平均分成若干份,分的份数在5至20之间,那么有多少种分法?
  4.小英参加小学数学竞赛,她说:“我得的成绩和我的岁数以及我得的名次乘起来是3916,满分是100分。”能否知道小英的年龄、考试成绩及名次?
  5.举例回答下面各问题:(1)两个质数的和仍是质数吗?
(2)两个质数的积能是质数吗?
(3)两个合数的和仍是合数吗?
(4)两个合数的差(大数减小数)仍是合数吗?
(5)一个质数与一个合数的和是质数还是合数?
  6.求不大于100的约数最多的自然数。
  7.同学们去射箭,规定每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)或者是不超过10的自然数。甲、乙两同学各射5箭,每人得到的总环数之积刚好都是1764,但是甲的总环数比乙少4环。求甲、乙各自的总环数。
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