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小学奥数基础教程(五年级) 第10讲 质数与合数

时间:2017-06-19来源: 作者:陈香 点击:
 
 第10讲 质数与合数
  自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为三类:
  第一类:只能被一个自然数整除的自然数,这类数只有一个,就是1。
  第二类:只能被两个不同的自然数整除的自然数。因为任何自然数都能被1和它本身整除,所以这类自然数的特征是大于1,且只能被1和它本身整除。这类自然数叫质数(或素数)。例如,2,3,5,7,…
  第三类:能被两个以上的自然数整除的自然数。这类自然数的特征是大于1,除了能被1和它本身整除外,还能被其它一些自然数整除。这类自然数叫合数。例如,4,6,8,9,15,…
  上面的分类方法将自然数分为质数、合数和1,1既不是质数也不是合数。
  例1 1~100这100个自然数中有哪些是质数?
  分析与解:先把前100个自然数写出来,得下表:
http://www.xiao5.cn/TK/ktlx/5/70_154.jpg
  1既不是质数也不是合数。
  2是质数,留下来,后面凡能被2整除的数都是合数,都划去;
  3是质数,留下来,后面凡能被3整除的数都是合数,都划去;
  类似地,把5留下来,后面凡是5的倍数的数都划去;
  把7留下来,后面凡是7的倍数的数都划去。
  经过以上的筛选,划去的都是合数,余下26个数,除1外,剩下的25个都是质数。这样,我们便得到了100以内的质数表:
  2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,
  43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。
  这些质数同学们应当熟记!
  细心的同学可能会注意到,以上只划到7的倍数,为什么不继续划去11,13,…的倍数呢?事实上,这些倍数已包含在已划去的倍数中。例如,100以内11的倍数应该是
  11×A≤100(其中A为整数),
http://www.xiao5.cn/TK/ktlx/5/_OLE2826.JPG
  显然,A只能取2,3,4,5,6,7,8,9。因为4=22,6=2×3,8=23,9=32,所以A必是2,3,5,7之一的倍数。由此推知,11的倍数已全部包含在2,3,5,7的倍数中,已在前面划去了。
  要判断一个数N是质数还是合数,根据合数的定义,只要用从小到大的自然数2,3,4,5,6,7,8,…,N-1去除N,其中只要有一个自然数能整除N,N就是合数,否则就是质数。但这样太麻烦,因为除数太多。能不能使试除的数少一点呢?由例1知,只要用从小到大的质数去除N就可以了。例2给出的判别方法,可以使试除的数进一步减少。
  例2 判断269,437两个数是合数还是质数。
  分析与解:对于一个不太大的数N,要判断它是质数还是合数,可以先找出一个大于N且最接近N的平方数K2,再写出K以内的所有质数。如果这些质数都不能整除N,那么N是质数;如果这些质数中有一个能整除N,那么N是合数。
  因为269<172=289。17以内质数有2,3,5,7,11,13。根据能被某些数整除的数的特征,个位数是9,所以269不能被2,5整除;2+6+9=17,所以269不能被3整除。经逐一判断或试除知,这6个质数都不能整除269,所以269是质数。
  因为437<212=441。21以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19。容易判断437不能被2,3,5,7,11整除,用13,17,19试除437,得到437÷19=23,所以437是合数。
  对比一下几种判别质数与合数的方法,可以看出例2的方法的优越性。判别269,用2~268中所有的数试除,要除267个数;用2~268中的质数试除,要除41个数;而用例2的方法,只要除6个数。
  例3 判断数1111112111111是质数还是合数?
  分析与解:按照例2的方法判别这个13位数是质数还是合数,当然是很麻烦的事,能不能想出别的办法呢?根据合数的意义,如果一个数能够写成两个大于1的整数的乘积,那么这个数是合数。
  根据整数的意义,这个13位数可以写成:
  1111112111111
  =1111111000000+1111111
  =1111111×(1000000+1)
  =1111111×1000001。
  由上式知,111111和1000001都能整除1111112111111,所以1111112111111是合数。
  这道例题又给我们提供了一种判别一个数是质数还是合数的方法。
  例4 判定298+1和298+3是质数还是合数?
  分析与解:这道题要判别的数很大,不能直接用例1、例2的方法。我们在四年级学过an的个位数的变化规律,以及an除以某自然数的余数的变化规律。2n的个位数随着n的从小到大,按照2,4,8,6每4个一组循环出现,98÷4=24……2,所以298的个位数是4,(298+1)的个位数是5,能被5整除,说明(298+1)是合数。
  (298+3)是奇数,不能被2整除; 298不能被3整除,所以(298+3)也不能被3整除;(298+1)能被5整除,(298+3)比(298+1)大2,所以(298+3)不能被5整除。再判断(298+3)能否被7整除。首先看看2n÷7的余数的变化规律:
http://www.xiao5.cn/TK/ktlx/5/_OLE2827.JPG
  因为98÷3的余数是2,从上表可知298除以7的余数是4,(298+3)除以7的余数是4+3=7,7能被7整除,即(298+3)能被7整除,所以(298+3)是合数。
  例5 已知A是质数,(A+10)和(A+14)也是质数,求质数A。
  分析与解:从最小的质数开始试算。
  A=2时,A+10=12,12是合数不是质数,所以A≠2。
  A=3时,A+10=13,是质数;A+14=17也是质数,所以A等于3是所求的质数。
  A除了等于3外,还可以是别的质数吗?因为质数有无穷多个,所以不可能一一去试,必须采用其它方法。
  A,(A+1),(A+2)除以3的余数各不相同,而(A+1)与(A+10)除以3的余数相同,(A+2)与(A+14)除以3的余数相同,所以A,(A+10),(A+14)除以3的余数各不相同。因为任何自然数除以3只有整除、余1、余2三种情况,所以在A,(A+10),(A+14)中必有一个能被3整除。能被3整除的质数只有3,因为(A+10),(A+14)都大于3,所以A=3。也就是说,本题唯一的解是A=3。
   练习10
 1.现有1,3,5,7四个数字。
(1)用它们可以组成哪些两位数的质数(数字可以重复使用)?
(2)用它们可以组成哪些各位数字不相同的三位质数?
2.a,b,c都是质数,a>b>c,且a×b+c=88,求a,b,c。
3.A是一个质数,而且A+6,A+8,A+12,A+14都是质数。试求出所有满足要求的质数A。
http://www.xiao5.cn/TK/ktlx/5/_OLE2828.JPGhttp://www.xiao5.cn/TK/ktlx/5/_OLE2828.JPG
  5.试说明:两个以上的连续自然数之和必是合数。
  6.判断266+388是不是质数。
  7.把一个一位数的质数a写在另一个两位数的质数b后边,得到一个三位数,这个三位数是a的87倍,求a和b。
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